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如風さん：
コメントありがとうございます。
非圧縮非粘性流れの考えが、役に立つという如風さんの主旨には賛成です。
それで、まず、流体の渦から、確かめていきませんか。
如風さんのことだから、退屈かも知れませんが。
・三次元空間XYZで、非粘性非圧縮の回転する流体粒子を考えます。
・X方向の速度成分=u
Y方向の速度成分=v
z方向の速度成分=w
X-Y面で、Z軸回りの回転：(1/2)(∂v/∂x-∂u/∂y) →ζ：回転速度の２倍
Y-Z面で、X軸回りの回転：(1/2)(∂w/∂y-∂v/∂z) →ξ：回転速度の２倍
Z-X面で、Y軸回りの回転：(1/2)(∂u/∂z-∂w/∂z) →η：回転速度の２倍
という、ζ、ξ、ηの３つの成分からなる、ベクトルωを考えることができます。
これを、渦度と呼びます。
渦度の輸送方程式は、
Dω/Dt=(ω・∇)V …（1）
これが、非粘性非圧縮流れの渦運動の基礎式で、ヘルムホルツの式です。
もし、粘性を考えたら、動粘性係数をνとして
Dω/Dt=(ω・∇)V+ν∇**2ω …(2)
と書けます。第２項が粘性に関係する二階微分で、有限の値を持つのがミソです。
D/Dtは偏微分演算子で、D/Dt=∂/∂t+u∂/∂x+v∂v/∂y+w∂/∂z
∇は発散のベクトル演算子で、∇=divV=∂i/∂x+∂j/∂y+∂k/∂z
∇**2=div(divV)
i、j、kはX、Y、Z方向の単位ベクトルです。
また、渦線というのは
dx/ξ=dy/η=dz/ζ
で表される曲線で、渦線は渦度ベクトルωの方向で、回転軸を結んだ軌跡、
だから、渦線は1/2|ω｜の角速度で回転しながら流れとともに移動します。
流れの中に微小な閉曲線をとり、その曲線上の渦線で囲まれたチューブが渦管です。
渦管の微小断面積dAに対し、中の渦度を面積分すると、
dΓ=|ω｜dA
と書けます。
dΓを一定として、dAを無限小にすると、渦度ωは保存されるから、渦管は一本の線として扱うことができて、これが渦糸と呼ばれます。
(1)式から始めたヘルムホルツは、「渦糸」という考えを非粘性流れから思いついたのですね。
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