ターボファンならファンで吸い込んだ空気の一部を燃焼部の外側に通して（バイパス気流）、それで冷却し、その後後ろに吹き出して推力の一部にしますが・・・ターボジェットはどうでしたっけ？

冷却していないのではないでしょうか？そのため初期のジェットエンジンでは数時間単位でオーバーホールが必要だったのだと思います。

前方から導入した空気の一部を軸内のダクトに導いて、最終的にタービンの表面から放出することでタービンや出力軸の溶融を防いでいます。

↑いわゆる「フィルム冷却」という奴ですね。