航空無線においては原則として「San Francisco Tower(宛先), Cessna N25342(発信元), Request Emargency Landing」のようなフォーマットを用います(英文の場合)ので、誰がどこに向かってしゃべっているかわからなくなる事はありません。
ささき

管制官は、そういった事態でも対処できるように訓練を受けているはずです。　具体的に質問者の方の想定された状況は、操縦不能、あるいは何らかの理由で厚木の管制圏にクリアランスなく「進入」してしまった（突っ込んでという表現は、情緒的かもしれませんが感心しません。）ここでパイロットは緊急用の周波数でエマージェンシーをコールした、こういうことでしょうか。ここでパイロットが管制官に伝えるべきことは自機のコールサイン、緊急事態の内容、自機の位置、パイロットの意図ですね。時間があればトランスポンダーに緊急事態を示すコードを入れるか、あるいは管制官から入力を指示されるかもしれません。　管制官はARTSシステムのレーダースクリーン上で当該機体を確認（高輝度で表示されます）した段階で、状況に応じた緊急着陸の手配（他の航空機への連絡、消防救難機関への通報等）や必要な支援措置を取るでしょう。既に厚木の管制圏内にいるのであれば厚木から支援を受けるでしょうね。（というより、勝手に管制圏内に進入した段階で、厚木の管制官は既に他の航空機とのセパレーション等必要な措置を取っているはずです）この間、例えば横田アプローチがエマージェンシーを傍受していたとしても、特に必要が無ければ静かに状況を見守っていることでしょう。
みなと

ささきさん、緊急用の周波数でのお話ですから宛先なく"Mayday"..か"Pan"..ですよ。
みなと

あ、ささきさんのお話はその後のことですか。
みなと

ところで本当の、一刻を争うエマージェンシーならいちいち緊急用周波数に切り替えなくとも、横田アプローチと交信できているならそのまま交信続けるべきですけれども、それを言っては話が始まりませんか（笑）。
みなと